Über Ziegler-Erweiterungen von Multiarrangements

• Antragsteller: Professor Dr. Gerhard Röhrle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539858198

Die Bedeutung kombinatorischer Aspekte von Hyperebenen-Arrangements liegt einem Großteil von June Huhs Arbeiten zur log-konkaven Eigenschaft der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms eines Hyperebenen-Arrangements oder allgemeiner eines Matroids zugrunde (die sogenannte Heron-Rota-Welsh-Vermutung). Die Klassen der freien Arrangements und der freien Multiarrangements spielen eine zentrale Rolle in den Theorien der Hyperebenen-Arrangements bzw. der Multiarrangements. Ziegler hat in seiner bahnbrechenden Arbeit gezeigt, dass ein freies Arrangements A ein kanonisches freies Multiarrangement auf jeder Einschränkung von A liefert, dessen Exponenten nur von den Exponenten von A abhängen. In diesem Forschungsvorhaben bezeichnen wir diese Konstruktion als Ziegler-Einschränkung. Im Jahr 2010 untersuchte Yoshinaga ein umgekehrtes Verfahren, das er als Erweiterung bezeichnete: Gegeben sei ein freies Multiarrangement. Ist dies die Ziegler-Einschränkung eines freien Arrangements A? Im Allgemeinen ist dies nicht der Fall. In diesem Forschungsvorhaben nennen wir dies eine Ziegler-Erweiterung falls sie existiert. Das ultimative Ziel von Yoshinagas Arbeit in diesem Zusammenhang ist eine vollständige Beschreibung aller freien Zwischenarrangements zwischen den erweiterten Shi- und erweiterten Catalan-Arrangements für Wurzelsysteme vom Typ A, D oder E. Es gibt eine lange und bemerkenswerte Geschichte und ein anhaltendes Interesse an der Literatur zu Fragen der Freiheit der Familien erweiterter Schi und erweiterter Catalan-Arrangements. Dieses Forschungsvorhaben ist unter anderem ein Beitrag zu dieser Theorie. Das Ziel dieses Forschungsvorhabens besteht darin, Yoshinagas Untersuchung über Erweiterungen freier Multiarrangements fortzusetzen. Zunächst möchten wir einige der in Yoshinagas Artikel aufgeworfenen Fragen und Vermutungen beantworten. Zweitens beabsichtigen wir, die Klassifikation in dieser Arbeit auf alle mittleren freien Anordnungen zwischen erweiterten Shi- und erweiterten Catalan-Arrangements für beliebige Coxeter-Typen auszudehnen, d.h. auch auf Wurzelsysteme vom Typ vom Typ B, C, F und G. Drittens planen wir, Erweiterungen freier Multiarrangements über endlichen Körper zu untersuchen, ein Thema, das in der Literatur bisher noch nicht untersucht wurde. Schließlich zielen wir in einem vierten Forschungsstrang darauf ab, freie Erweiterungen verschiedener natürlicher freier komplexer Multispiegelungsarrangements zu untersuchen, die in früheren Arbeiten des PI und seiner Co-Autoren definiert und untersucht wurden. Man könnte sich diese Erweiterungen dann als komplexe (nicht-reale) Analoga zu erweiterten Shi- und erweiterten Catalan-Arrangements vorstellen. Letzteres ist ein völlig neuartiges Thema. Das Thema von Erweiterungen freier Multiarrangements im Allgemeinen im Sinne Yoshinagas ist weitgehend Neuland und scheint daher ideal für ein Promotionsprojekt zu sein.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien